1998 LS 8.1 Dichte info schwer

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Einleitung

1. Dichte 1.1 Würfel gleicher größe, unterschiedliches Gewicht 1.2 Zylinder unterschiedlicher Größe, gleiches Gewicht 1.3 Verhältnis Masse/Volumen bleibt gleich

2. Legierungsmaterialkosten ermitteln 2.1 Prozess erklären, Volumen_Wachs=Volumen_Legierung 2.2 Wenn die Dichte der Legierung x mal höher ist, muss bei gleichem Volumen x mal mehr Masse genutzt werden 2.2 Formel Masse_Legierung 2.3

Die Legierungsmaterialkosten berechnet man wie folgt:

[math]\displaystyle{ \text{Legierungsmaterialkosten} = \textcolor{red}{Masse}_{\textcolor{red}{\text{Legierungsbrücke}}} \times \textcolor{green}{\text{Preis}}_{\textcolor{green}{\text{Legierung}}} }[/math]

Grün: Der Preis in €/cm³ steht in der Legierungstabelle. Rot: Die Legierungsmasse in g ist unbekannt.

Prozess des Gießens in der Zahntechnik

Beim Gießen von Zahnersatz (z.B. Kronen, Brücken, Inlays) wird die Wachsmodellation ausgebrannt und mit einer Legierung befüllt. Das Volumen der Wachsbrücke und der Legierungsbrücke bleibt aber gleich. Sonst würde der Zahnersatz später nicht mehr auf das Modell passen.

--- Gallery Gefräste Wachsmodellation, Angestifte Wachsmodellation, Einbetten, Wachs ausbrennen, Gießen, Ausbetten, abgetrennter Guss

--- Skizze eingebette Wachsbrücke --- Skizze gegossene Wachsbrücke

Das Volumen können wir mithilfe eines Messzylinders bestimmen. Die Masse können wir mit einer Waage bestimmen.

[math]\displaystyle{ \textcolor{green}{Volumen}_{\textcolor{green}{\text{Wachsbrücke}}} = \textcolor{green}{Volumen}_{\textcolor{green}{\text{Legierungsbrücke}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \textcolor{green}{Masse}_{\textcolor{green}{\text{Wachsbrücke}}} \neq \textcolor{red}{Masse}_{\textcolor{red}{\text{Legierungsbrücke}}} }[/math]

Dichte, das Verhältnis von Masse zu Volumen eines Körpers

Sie haben bestimmt schon gesagt oder gedacht: "Gold ist doch schwerer als Wachs".

Dies ist jedoch nicht ganz richtig, da eine große Menge Wachs schwerer sein kann als ein kleines Stückchen Gold. Es kommt auch auf die "Menge" an, bzw. auf das Volumen. Richtig ausgedrückt müsste man sagen: "Gold hat eine höhere Dichte als Wachs".

Körper (z.B. Brücken) bestehen aus einem bestimmten Stoff (z.B. Wachs, Gold) welche immer das gleiche Verhältnis zueinander haben. Dieses Verhältnis ist die Dichte:

Die Dichte ρ (Rho) eines Körpers ist das Verhältnis von Masse zu Volumen:

[math]\displaystyle{ Dichte = \rho = \frac{m}{V} = \frac{\text{Masse}}{\text{Volumen}} }[/math]

Zylinder aus unterschiedlichen Stoffen können unterschiedliche Volumen haben, obwohl sie die selbe Masse haben. --- Bild Zylinder --- Formel mit Dichte runter, Masse gleich/Volumen hoch

--> Ein niedrigere Dichte führt zu einem höheren Volumen, bei gleichbleibender Masse.

Würfel aus unterschiedlichen Stoffen (unterschiedlichen Dichten) können trotz gleichem Volumen unterschiedliche Massen haben --- Bild Würfel --- Formel mit Dichte hoch, Masse hoch/Volumen gleich

--> Eine höhere Dichte führt zu einer höheren Masse, bei gleichbleibenden Volumen. --> Wenn die Dichte doppelt so hoch ist muss die Masse auch doppelt so hoch sein, bei gleichbleibenden Volumen.

Beispiel:

Die Dichte von Aluminium beträgt ungefähr 2,7 g/cm³ und die von Kupfer etwa 8,96 g/cm³.

--> Wenn Sie den Aluminiumwürfel wiegen, hat er eine Masse von 2,7 g (weil 1 cm³ Aluminium 2,7 g wiegt). --> Wenn Sie den Kupferwürfel wiegen, hat er eine Masse von 8,96 g (weil 1 cm³ Kupfer 8,96 g wiegt).

Die Dichte von Kupfer ist ca. 3 Mal so groß wie die von Aluminium. Das bedeutet, dass, obwohl beide Würfel das gleiche Volumen haben, der Kupferwürfel ca. 3 Mal so schwer ist wie der Aluminiumwürfel.

Schauen wir uns nun den Herstellungsprozess einer Brücke an und sehen ob uns diese Informationen helfen:

Beim Gießen von Zahnersatz (z.B. Kronen, Brücken, Inlays) wird die Wachsmodellation ausgebrannt und mit einer Legierung befüllt. Das Volumen der Wachsbrücke und der Legierungsbrücke bleibt aber gleich. Sonst würde der Zahnersatz später nicht mehr auf das Modell passen.

--- Skizze eingebette Wachsbrücke --- Skizze gegossene Wachsbrücke

Wie bei den Würfeln wissen wir jetzt schon: Die Dichte der Legierung muss x mal höher ist als die Dichte des Wachses, da die Legierungsbrücke bei gleichem Volumen eine höhere Masse hat.

Die Dichte der Wachsbrücke können wir also bestimmen. Die Dichte der Legierung können wir aus der Legierungstabelle entnehmen. Die Dichte kann durch einsetzten der Masse und des Volumens bestimmt werden.

[math]\displaystyle{ \textcolor{green}{Dichte}_{\textcolor{green}{\text{Wachsbrücke}}} = \frac{\textcolor{green}{Masse}_{\textcolor{green}{\text{Wachsbrücke}}}}{\textcolor{green}{Volumen}_{\textcolor{green}{\text{Wachsbrücke}}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \textcolor{green}{Dichte}_{\textcolor{green}{\text{Legierungsbrücke}}} = \frac{\textcolor{red}{Masse}_{\textcolor{red}{\text{Legierungsbrücke}}}}{\textcolor{green}{Volumen}_{\textcolor{green}{\text{Legierungsbrücke}}}} }[/math]

da die Volumen gleich sind können links nach Volumen umstellen und rechts zur gesuchten Legierung und erhalten

[math]\displaystyle{ \textcolor{green}{Volumen}_{\textcolor{green}{\text{Wachsbrücke}}} = \frac{\textcolor{green}{Masse}_{\textcolor{green}{\text{Wachsbrücke}}}}{\textcolor{green}{Dichte}_{\textcolor{green}{\text{Wachsbrücke}}}} }[/math]

[math]\displaystyle{ \textcolor{red}{Masse}_{\textcolor{red}{\text{Legierungsbrücke}}} = \textcolor{green}{Dichte}_{\textcolor{green}{\text{Legierungsbrücke}}} \times \textcolor{green}{Volumen}_{\textcolor{green}{\text{Legierungsbrücke}}} }[/math]

einsetzen der linken Gleichung in die rechte Gleichung, da Volumen_Wachsbrücke = Volumen_Legierungsbrücke:

Da beide Materialien (Wachs und Legierung) den gleichen Raum einnehmen (gleiches Volumen), aber die Legierung eine viel höhere Dichte hat, muss sie viel "schwerer" (mehr Masse) sein als das Wachs.

[math]\displaystyle{ Masse_{Legierung} = \left( \frac{\rho_{Legierung}}{\rho_{Wachs}} \right) \times m_{Wachs} }[/math]

Berechnung der Legierungsmasse

Volumen und Masse der gleichen Krone als Wachsmodellation und gegossen mit einer NEM-Legierung

Da beide Materialien (Wachs und Legierung) den gleichen Raum einnehmen (gleiches Volumen), aber die Legierung eine viel höhere Dichte hat, muss sie viel "schwerer" sein als das Wachs.

Beispiel: Angenommen die Dichte von Wachs ist 1 g/cm³ und die Dichte einer NEM-Legierung ist 8,7 g/cm³. Die Dichte der NEM-Legierung ist dann 8,7 mal zu höher als die Dichte der Wachsmodellation. Da das Volumengleich groß ist, muss die Masse auch 8,7 mal höher sein.

[math]\displaystyle{ Masse_{Legierung} = \left( \frac{\rho_{Legierung}}{\rho_{Wachs}} \right) \times m_{Wachs} }[/math]

Hinweis: Die Legierungsmasse könnte auch direkt über das Volumen der Wachsmodellation bestimmt werden, das Volumen lässt sich allerdings nicht so genau bestimmen und man müsste jedesmal umständlich das Volumen bestimmen anstelle einfach das Gewicht zu bestimmen.

Berechnung der Legierungsmaterialkosten

Mit bekannter Legierungsmasse können nun die erwarteten Legierungsmaterialkosten berechnen werden:

[math]\displaystyle{ \text{Legierungsmaterialkosten} = Masse_{\text{Legierung}} \times \text{Preis}_{\text{Legierung}} }[/math]

mit Legierungsmaterialkosten in €, Masse in g und Preis in €/g.

Hinweis: Die tatsächliche Legierungsmaterialkosten erhalten wir erst nach dem Ausbetten durch wiegen des vom Gusskanal abgetrennten Zahnersatzes. Der berechnete Wert sollte aber sehr nah dran liegen.

Messung der Masse und des Volumens bei Festkörpern

Das Volumen von Festkörpern kann bei einfachen Formen durch die gängigen Formeln berechnet werden, welche Sie im Matheunterricht kennen gelernt haben (z.B. bei Würfeln, Kugeln, Zylindern). Das Volumen von komplizierten Festkörpern (z.B. Brücken) kann man folgendermaßen bestimmen:

Messung der Masse

Die Masse wird gewogen (s. Zusammensetzung Massenanteil).

Einfache Messung des Volumens

Um das Volumen eines Objekts zu bestimmen, kann man es in einen Messzylinder mit Flüssigkeit eintauchen. Man notiert das Anfangsvolumen der Flüssigkeit. Nach dem möglichst blasenfreien Eintauchen des ganzen Objekts misst man das verdrängte Volumen. Die Differenz dieser beiden Messungen gibt das Volumen des Objekts an. Beachten Sie: ml = cm³.

Volumen der Wachsmodellation = Wasserstand nach dem Eintauchen - Wasserstand vor dem Eintauchen

Hinweis: Wenn die Dichte des Objekts kleiner ist als die Dichte der Flüssigkeit (für Wasser 1g/cm³), dann treibt das Objekt nach oben bzw. "auf", daher kommt der "Auftrieb" in Flüssigkeiten.